Pequeña observación sobre fracciones

¡ Hola !

Para empezar quería contarles de una relación muy evidente y muy fácil de probar, que puede ser usada al momento de resolver problemas con fracciones para simplificar expresiones, pero por alguna razón no he visto que la utilicen mucho cuando puede ser conveniente para reducir mucho el trabajo y la talacha y evitar dar rodeos inútiles. Para algunos quizás les parezca un poco obvio, pero me gusta mucho y quería contarselas, además que no quiero espantar gente apenas abriendo el blog.

La relación es la siguiente:

Si {a, b, c, d \in\mathbb{R}} con {b\neq 0, d\neq 0} y {b\neq -d}, tales que {\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}, entonces se tiene que:

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d} \ \ \ \ \ (1)

En realidad es un poco evidente y la demostración es muy sencilla.

Demostración:

Sea {r=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}, por lo que si despejamos, {a} y {c} de cada fracción, tenemos que:

\displaystyle a=br \qquad c=dr

Sumando ambas expresiones tenemos que:

\displaystyle a+c=r(b+d) \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{a+c}{b+d}=r=\frac{a}{b}

Con esto queda listo. Ahora veamos algunos problemas donde podemos utilizarla. Empezaremos con algo sencillo. Consideremos {n} resistencias en paralelo {R_i}. Vamos a demostrar la conocida fórmula para simplificar resistencias en parelelo a una resistencia equivalente. Supongamos que todas las resistencias están conectadas a una fuente de voltaje {V} en común y que la corriente que pasa por cada una de ellas {I_i} respectivamente.

Por la ley de Ohm tenemos que cada {R_i} y {I_i} se relaciona con {V} de la siguiente manera:

\displaystyle V=I_1\mathop{.}R_1=I_2\mathop{.}R_2=\mathop{...}=I_n\mathop{.}R_n \ \ \ \ \ (2)

Para hacer el resto más manipulable y simple de ver, en vez de resistencias consideraremos momentáneamente las conductancias, para quien no lo haya visto esto se define como el inverso múltiplicativo de la resistencia:

\displaystyle G_i=\frac{1}{R_i} \ \ \ \ \ (3)

De esto, la ecuación (2) se vuelve:

\displaystyle V=\frac{I_1}{G_1}=\frac{I_2}{G_2}=\mathop{...}=\frac{I_n}{G_n} \ \ \ \ \ (4)

Ahora simplemente utilizamos (1) en (4) varias veces y obtenemos que:

\displaystyle V=\frac{I_1+I_2+\mathop{...}+I_n}{G_1+G_2+\mathop{...}+G_n} \ \ \ \ \ (5)

Pero de la ley de Kirchoff para corriente sabemos que la suma de corrientes por cada resistor es igual a la corriente {I} que pasaría por la fuente de voltage.

\displaystyle V=\frac{I}{G_1+G_2+\mathop{...}+G_n} \ \ \ \ \ (6)

Pero además, si pensamos todas las conductancias como una sóla conductancia equivalente, tendríamos que la ley de Ohm da la expresión:

\displaystyle V=\frac{I}{G_{eq}} \ \ \ \ \ (7)

Comparando (6) y (7) obtenemos:

\displaystyle G_{eq}=\sum_{i=1}^{n} G_i \ \ \ \ \ (8)

O bien, utilizando la definición (3) de conductancia:

\displaystyle \frac{1}{R_{eq}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_i} \ \ \ \ \ (9)

Que es la conocida fórmula que buscabamos demostrar.

Otro ejemplo que les quiero compartir es el problema 4 de la Olimpiada Nacional de Física de 2011 (México). Pueden encontrar el pdf del examen en la página de la Sociedad Mexicana de Física (que en algún momento que aprenda a hacerlo aparecerá en links sugeridos de este blog) o directamente en este link. (Den click donde dice “en este link”).

El problema habla sobre conducción de calor a traves de sólidos; particularmente habla del flujo de calor a través de un sólido de área trasversal de {A}, espesor {d} y conductividad térmica de {k}, cuyas cara laterales tienen temperaturas de {T_1} y {T_2}. El flujo de calor {H} puede describirse por la siguiente ecuación:

\displaystyle H=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=-kA\left( \frac{T_1-T_2}{d} \right) \ \ \ \ \ (10)

En seguida piden calcular la razón de flujo de calor a través de dos tablas puestas una después de la otra, con una interfase a temperatura {T} y cada una con conductividades térmicas de {k_1} y {k_2}, misma área transversal y grosores de {d_1} y {d_2}, respectivamente. Para responder esto simplemente asumimos que el flujo de calor es el mismo a través de ambas tablas, con lo que podemos escribir:

\displaystyle H=-k_1A\left( \frac{T_1-T}{d_1} \right)=-k_2A\left( \frac{T-T_2}{d_2} \right) \ \ \ \ \ (11)

Para continuar, procedemos de manera similar que con la ecuación (3). Utilizaremos el concepto de resistencia térmica, que se define como el cociente del grosor entre la conductividad térmica:

\displaystyle R=\frac{d}{k} \ \ \ \ \ (12)

Sustituyendo con la definición (12) en (11) y reacomodando, tenemos que:

\displaystyle H=\left( \frac{-A\left(T_1-T\right)}{R_1} \right)=\left( \frac{-A\left(T-T_2\right)}{R_2} \right) \ \ \ \ \ (13)

Utilizando la mágica observación (1) en las fracciones de (13) obtenemos lo que buscamos:

\displaystyle H=\left( \frac{-A\left(T_1-T\right)-A\left(T-T_2\right)}{R_1+R_2} \right)=-A\left( \frac{T_1-T_2}{R_1+R_2} \right) \ \ \ \ \ (14)

o bien,

\displaystyle H=-A\left( \frac{T_1-T_2}{\frac{d_1}{k_1}+\frac{d_2}{k_2}} \right) \ \ \ \ \ (15)

Lo que concluye el primer punto del problema. Luego preguntan la temperatura de la interfase, que puede realizarse con un despeje simple de (14):

\displaystyle T=T_2-\frac{HR_2}{A}=T_2+ \frac{R_2}{R_1+R_2}\left(T_1-T_2\right)=\frac{T_2R_1+T_1R_2}{R_1+R_2} \ \ \ \ \ (16)

Si regresamos las resistencias caloríficas a conductividad térmica y limpiamos un poco, la ecuación (16) nos queda así:

\displaystyle T=\frac{T_1k_1d_2+T_2k_2d_1}{k_1d_2+k_2d_1} \ \ \ \ \ (17)

Y por último, para el tercer punto del problema solamente tenemos que comparar la ecuación (14) con la ecuación que tendríamos si se tratara de un único material de grosor {d_1+d_2}

\displaystyle R_{eq}=R_1+R_2 \; \Rightarrow \; \frac{d_1+d_2}{k_{eq}}=\frac{d_1}{k_1}+\frac{d_2}{k_2} \\ \therefore \; \Rightarrow \; k_{eq}=\frac{k_1k_2\left( d_1+d_2 \right)}{k_1d_2+k_2d_1} \ \ \ \ \ (18)

¡ Listo!

Espero que no los canse el algebra. Lamento haber tardado un poco en publicar esto, pero estoy terminando exámenes finales, ya tendré más tiempo de esto. Por cierto los invito a visitar Nature (pronto también en la posible futura sección de enlaces recomendados), en particular esta nota que se publicó el pasado 2 de diciembre que quizás les pueda interesar. Nos vemos pronto.

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